Τετάρτη, 23 Μαΐου 2018

Σύνθετο... φρουτο-κουίζ!

  1. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του λεμονιού
  2. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του μήλου
  3. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του πορτοκαλιού
  4. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του ερωτηματικού!



Αφήστε σχόλιο με τον αριθμό που βρήκατε... Η λύση θα δοθεί σύντομα!!!

Κυριακή, 22 Απριλίου 2018

Μετρώντας τη Γη: Ο μεγαλοφυής υπολογισμός του Ερατοσθένη

Η πρώτη φορά στην ιστορία κατά την οποία έγινε πραγματική μέτρηση για τον υπολογισμό της περιμέτρου της Γης, ήταν από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο (276 πΧ – 194 πΧ), ο οποίος υπολόγισε με εκπληκτική ακρίβεια την περίμετρο της Γης από... ένα πηγάδι. Για τη μέτρηση αυτή ο Ερατοσθένης είχε γράψει ιδιαίτερη πραγματεία, όπως πληροφορούμαστε από την «Διόπτρα» του Ήρωνος του Αλεξανδρέως, ο οποίος αναφερόμενος στο μέγεθος της περιμέτρου της Γης σημειώνει: «Ερατοσθένης εν τω επιγραφομένω περί αναμετρήσεως της Γης».

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην ελληνική αποικία της Βόρειας Αφρικής, Κυρήνη και ήταν φίλος με τον Αρχιμήδη. Λέγεται ότι είχε ζήσει στην Αθήνα για αρκετά χρόνια, ώσπου έγινε βιβλιοθηκάριος στην περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, όπου και μελετούσε.
Πώς ένα πηγάδι βοήθησε τον Ερατοσθένη να αποδείξει ότι η Γη είναι στρογγυλή...
Η άποψη ότι η Γη ήταν σφαιρική ήταν αποδεκτή στην αρχαία Ελλάδα. Ο Ερατοσθένης ήταν εκείνος που απέδειξε μαθηματικά αυτή την πεποίθηση και μάλιστα υπολόγισε με αξιοθαύμαστη ακρίβεια την ακτίνα και την περίμετρο της σφαιρικής Γης.



Την εποχή που βρισκόταν στη βιβλιοθήκη, ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε για ένα πολύ περίεργο πηγάδι, το οποίο βρισκόταν κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν της νότιας Αιγύπτου). Κάθε χρόνο, το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου - τη μέρα του θερινού ηλιοστασίου, δηλαδή τη μεγαλύτερη μέρα του έτους - ο Ήλιος καθρεφτιζόταν ολόκληρος μέσα στο πηγάδι και το φώτιζε μέχρι τον πυθμένα του, χωρίς να δημιουργείται σκιά γύρω από αυτό. Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι για να συμβαίνει κάτι τέτοιο, τη συγκεκριμένη μέρα ο Ήλιος έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς κατακόρυφα πάνω από το πηγάδι.


Ο ήλιος όμως δεν συμπεριφερόταν το ίδιο και στα βόρεια της Αιγύπτου. Στην Αλεξάνδρεια, η οποία απέχει 800 χλμ από το Ασουάν, την ίδια εκείνη μέρα, ο ήλιος δημιουργούσε μια μικρή σκιά σε μια ψηλή κολώνα. Αυτό σήμαινε ότι οι δύο πόλεις σίγουρα δεν έβλεπαν τον ήλιο υπό την ίδια γωνία. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ήδη από προγενέστερες αστρολογικές μετρήσεις που διάβασε στη βιβλιοθήκη ή από δικούς του υπολογισμούς, ότι η Συήνη και η Αλεξάνδρεια ανήκαν στον ίδιο μεσημβρινό. Επομένως ο λόγος που ο Ήλιος δεν μπορούσε να μεσουρανεί ταυτόχρονα στη Συήνη και στην Αλεξάνδρεια οφειλόταν στο ότι η Γη ήταν στρογγυλή και όχι επίπεδη. 


Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περίμετρο της Γης...

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση της γωνίας υπό την οποία ο Ήλιος έστελνε τις ακτίνες του σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες (Αλεξάνδρεια και Συήνη), την ίδια χρονική στιγμή.  Ο Ερατοσθένης πραγματοποίησε το πείραμα στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, όταν η Γη παρουσιάζει τη μέγιστη κλίση της ως προς τον Ήλιο. Αυτό σημαίνει ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρισκόταν ακριβώς πάνω από τις δύο πόλεις.


Στο σχήμα βλέπουμε παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη. Το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου, οι ηλιακές ακτίνες βυθίζονται στο πηγάδι της Συήνης, χωρίς να δημιουργούν καμία σκιά, επομένως «κατευθύνονται» προς το κέντρο της Γης. 

Την ίδια χρονική στιγμή στην Αλεξάνδρεια, μία ψηλή κολώνα (κάθετη στο έδαφος) σχηματίζει μια μικρή σκιά. Ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος της κολώνας και το μήκος της σκιάς της. Έτσι δημιούργησε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, υπολόγισε τη γωνία που σχηματιζόταν ανάμεσα στην κολώνα και στις ακτίνες του Ήλιου. Το αποτέλεσμα ήταν ότι η γωνία ήταν φ = 7,2˚ , δηλαδή το 1/50 της περιφέρειας του κύκλου που είναι 360˚.



Εδώ έχει μεγάλη σημασία το ότι η γωνία φ ισούται με τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο ακτίνες που συνδέουν το κέντρο της Γης με την Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα (εντός εναλλάξ γωνίες).

Στη συνέχεια, με την βοήθεια του βασιλιά Πτολεμαίου, ο οποίος διέθεσε ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια, μέτρησε την απόσταση των δύο πόλεων, που ήταν 5.040 στάδια. Στο πείραμα του, τα 5.040 στάδια αντιστοιχούσαν στο 1/50 της περιφέρειας του κύκλου.

Τέλος, πολλαπλασίασε το 5.040 με το 100% του κύκλου, δηλαδή το 50, και έτσι υπολόγισε την περίμετρο της Γης στα 252.000 στάδια, ή με τη σύγχρονη μονάδα μέτρησης, 39.690 χιλιόμετρα. Ο υπολογισμός που έκανε ο Ερατοσθένης 2.200 χρόνια πριν ήταν αρκετά ακριβής. Σήμερα η περίμετρος της Γης υπολογίζεται σύμφωνα με δορυφορικές μετρήσεις σε 40.048 χιλιόμετρα, άρα στην ουσία έπεσε έξω μόλις 358 χιλιόμετρα!


Πηγες:
Τζόνι Μπολ, Μαθημαγικά, Εκδόσεις Polaris, 2011
wikipedia.org

Σάββατο, 31 Μαρτίου 2018

Τα τελευταία λόγια μεγάλων μαθηματικών!




→Αρχιμήδης: « Εύρηκα... αλλά άρπαξα ένα κρύωμα!»

→Πυθαγόρας: «Μας κάρφωσε ο Ίππασος !!!»

→Ευκλείδης: «Το 5ο αίτημα δεν μου πολυαρέσει!!!»

→Ερατοσθένης: «Είδε κανείς το κόσκινο μου;»

→Ζήνων: «Είδες η χελώνα;»

→Διόφαντος: « Η ηλικία μου, ένα αίνιγμα…»

→Νεύτωνας : «Δεν ξαναπερνάω κάτω από μηλιά.»

→Γαλιλαίος: «Και όμως, γυρίζει…»

→Καρτέσιος: «Σε λίγο θα πάψω να σκέπτομαι και να υπάρχω!!»

→Τζιρόλαμο Καρντάνο: «Αυτός ο κερατάς ο Ταρτάλια μου έκλεψε την απόδειξη.»

→Πιερ Ντε Φερμά: «Έχω βρει μια πολύ ωραία απόδειξη αλλά δεν προλαβαίνω να την γράψω, μου χτυπάνε το κουδούνι.»

→Γκαλουά: «Έπρεπε να φορέσω αλεξίσφαιρο…»

→Λάιμπνιτς: «Υπήρξα πολύ αγαπητός!!!» (μόνο τρία άτομα συνόδευαν την σωρό του.)

→Μπερνούλι: «Θα ξαναγυρίσω αλλαγμένος.»

→Λέοναρντ  Όιλερ: «Δεν βλέπω τίποτα.»

→Καντόρ : «Τελικά ο Σαίξπηρ ήταν ο Φράνσις Μπέικον;»

→Πασκάλ: «Τα τρίγωνα μου μέσα!!»

→Φιμπονάτσι: «Ποιος άφησε ελεύθερα τα κουνέλια;»

→Ραμανουτζάν : «Εγώ δεν έκανα τίποτα... Όλα τα έκανε η Ναμαγκίρι.»

→Χίλμπερτ: «Τώρα ποιος θα λύσει τα προβλήματα μου;»

→Μπέρτραντ Ράσελ: «Πάλι αυτός ο κουρέας είναι ακούρευτος!!»

→Πωλ Έρντος: «Πάω τώρα να κρυφοκοιτάξω το βιβλίο...»

→Γκόλντμπαχ: «Το πολύ σε ένα χρόνο θα έχουν αποδείξει την εικασία μου.»

→Τζορτζ Μπουλ: «Λογικά θα πεθάνω!»

→Αύγουστος Φερδινάνδος  Μέμπιους: «Είδε κανείς την λωρίδα μου;»

→Αύγουστος Ντε Μόργκαν: «Εκείνος ο χάρτης, πόσα χρώματα;»

→Αβραάμ Ντε Μουάβρ: «Έχω αϋπνίες..»

→Γκέντελ: «Πλήρης...»

→Ουίλιαμ Σάνκς: «Εγώ  δεν λαθεύω ποτέ και αυτό είναι το μοναδικό μου λάθος.»  

→Τ.Χάρντι: « Όλα είναι θέμα spin.»

→Αϊνστάιν: «Σχετικά είναι όλα...»

Παρασκευή, 23 Φεβρουαρίου 2018

Μαθηματικές... προκλήσεις!

Για σήμερα συγκέντρωσα μερικούς διασκεδαστικούς γρίφους που βρήκα στο διαδίκτυο... Πραγματικά, είναι εθισμός! Εσείς τι λέτε?

#1

#2

#3

#4

#5

#6

Update: Θα βρείτε τις απαντήσεις εδώ...

Τρίτη, 19 Δεκεμβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη! (Μέρος 3º)

Μια κοινή άποψη μεταξύ πολλών ανθρώπων είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένα μάθημα βαρετό και χωρίς καμιά χρησιμότητα. Γνώσεις που έχω αποκτήσει στα χρόνια των σπουδών μου, έχουν δείξει όμως το αντίθετο κι αυτό είναι κάτι που επιθυμώ να μοιραστώ με όσους θέλουν να δουν μια εναλλακτική οπτική των πραγμάτων... Οι μαθητές μου αλλά και η κόρη μου έρχονται συνέχεια σε επαφή με "όμορφα" μαθηματικά, που φροντίζω να τους εξηγώ. Αποκαλύπτω τα "δυσνόητα" μαθηματικά μέσα από τις Καλές Τέχνες και τη Μουσική, έτσι οι μαθηματικές έννοιες γίνονται ευκολότερα κατανοητές! 😊

Στο τρίτο μέρος του project "Μαθηματικά και Τέχνη" παρουσιάζονται μέσα από την τέχνη μερικά ακόμη επίπεδα σχήματα όπως το πεντάγωνο, το εξάγωνο, ο κύκλος και η έλλειψη...


ΠΟΛΥΓΩΝΟ



Τα βιβλία γράφουν...

Μια απλή, κλειστή τεθλασμένη γραμμή λέγεται πολύγωνο.


ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ

Florin Constantinescu (Σύγχρονος ζωγράφος) - Pentagram (2016)


Carolyn Goodridge (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Color Geometry - Pentagon" (2013)


Ngo Dinh Bao Chau (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Silk Of Light" (2013) 


Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Pentagon"

Rolph Scarlett (1889 - 1984) - "Red Pentagon" (1953)


"Frankcraven" - "Pentagon Devil" (2004)


Sarah Crowner (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Terracotta Pentagon Leaves, White" (2016)

Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη γραφιστική...

"Radical Terra" - "Grand Elemental Pentagram"

...και στην αρχιτεκτονική...

Το κτιριακό συγκρότημα όπου στεγάζονται τα κεντρικά γραφεία του Υπουργείου Άμυνας  των Η.Π.Α. (Πεντάγωνο) στη Βιρτζίνια, σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα George Bergstrom (1876 - 1955)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 5 κορυφές λέγεται  πεντάγωνο.


ΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟΥ

"Pentagram and human body" - Σχέδιο του Κορνήλιου Αγρίππα (1486 - 1535)

Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό πεντάγωνο λέγεται το κυρτό πεντάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Το ABCDE είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Αν φέρουμε τις 5 διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου, σχηματίζεται ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο, που καλείται πεντάγραμμα ή πεντάλφα. Στο κέντρο σχηματίζεται ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου "κρύβουν" τη χρυσή τομή, για την οποία θα μιλήσουμε αναλυτικά σε επόμενη ανάρτηση.


ΕΞΑΓΩΝΟ


Alejandro Puente (1933 - 2013) (2006)


Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Harmony" (2013) 


Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Encapsulation" (2013) 


Dominique Landeau (2007)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 6 κορυφές λέγεται  εξάγωνο.

Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη διακοσμητική...

Πρωτότυπη ζωγραφική τοίχου με εξάγωνα κυψέλης (Κάλυψη του επιπέδου με κανονικά εξάγωνα)


Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό εξάγωνο λέγεται το κυρτό εξάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


ΚΥΚΛΟΣ

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Squares with Concentric Circles (1913)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Circles within a circle (1923)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Several Circles (1926)

Donald K. Sultan (γεν. 1951) - Double Dominos

Sharon Horvath (Σύγχρονη ζωγράφος) - Moons (2016)

Laszlo Moholy-Nagy (1895 - 1946)

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Colorful Planets"

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Paul Klee (1879 - 1940) - Senecio (1922)

Julie Gross (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Blue Inversion" (2004)

Florin Constantinescu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - Uncertainties (2016)

Mairi Walker (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα και μαθηματικός) (2013)

Τα βιβλία γράφουν...

Κύκλο λέμε το επίπεδο σχήμα, κάθε σημείο του οποίου απέχει ίση απόσταση (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο
(κέντρο του κύκλου).


ΕΛΛΕΙΨΗ


Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Black Cross on Red Oval" 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Red/Blue" (1964) 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - Blue and Yellow and Red-Orange

"Oval Hanging Construction", κρεμαστό γλυπτό του Alex Rodchenko (1921)

Τα βιβλία γράφουν...

Έλλειψη λέμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες της έλλειψης) είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των εστιών.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η υπέρτατη τέχνη του δασκάλου είναι να ξυπνάει τη χαρά στη δημιουργική έκφραση και τη γνώση".
(Άλμπερτ Αϊνστάιν)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


 Πηγές:
  • Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • wikipedia.org

(Συνεχίζεται με περισσότερες μαθηματικές έννοιες...)